Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигнала
Как уже отмечалось,
одной из проблем точного представления сигналов при гармоническом синтезе является
ограничение числа гармоник, связанное с конечностью числа отсчетов сигнала. К примеру, если вещественный сигнал задан 20 отсчетами, то максимальное число гармоник будет всего 10, что недостаточно для хорошего представления большинства реальных сигналов. Ниже описан путь преодоления этого ограничения. Он основан на интерполяции сигнала, что позволяет при ограниченном числе его отсчетов (выборок) использовать любое число дополнительных отсчетов. Разумеется, при этом строится спектр интерполированного сигнала, но он может представлять реальный сигнал гораздо лучше, чем просто ограниченный N/2 гармониками спектр сигнала с малым числом выборок. Еще одна проблема при спектральном анализе связана с необходимостью нормировки коэффициентов Фурье. Их расчет по аналитическим формулам не является достаточно эффективным — уже давно доказано, что если сигнал представлен отдельными выборками, то единственно обоснованным методом вычисления интегралов (коэффициентов) Фурье является простейший метод прямоугольников. Это обстоятельство также учтено в описанном ниже документе (вполне законченном «блокноте» системы Mathematica). Пусть сигнал задан N отсчетами. На рис. 5.15 показан пример задания достаточно сложного сигнала путем формирования вектора его ординат Yi (индекс i от 1 до 20). Пусть сигнал задан на периоде Т = 4*10^-6 с, что соответствует частоте f 1 основной гармоники сигнала, равной 250 кГц. Рисунок 5.15 поясняет технику нормировки сигнала и построения его графика с реальной шкалой времени (то есть на отрезке времени от 0 до Т).
Рис. 5.15. Задание сигнала, его кусочно-линейная интерполяция и построение графика временной зависимости
При построении графика сигнала и его временной зависимости использована наиболее широко применяемая на практике техника кусочно-линейной интерполяции. Однако изменением значения опции InterpolationOrder можно выполнить и глобальную полиномиальную аппроксимацию сигнала, которая может быть предпочтительна для гладких сигналов. Рисунок 5.16 показывает раздел документа с расчетом коэффициентов косинусных и синусных коэффициентов Фурье методом прямоугольников. В расчете есть небольшая тонкость, иногда ускоряющая вычисления, — нулевые отсчеты не обрабатываются. Показанные на рис. 5.16 соотношения хорошо знакомы специалистам, применяющим инженерные методы спектрального анализа и синтеза. На рис. 5.17 крупным планом показано построение спектрограммы амплитуд гармоник заданного сигнала. Дабы подчеркнуть дискретность гармоник, амплитуда каждой из них показана точкой, около которой стоит номер гармоники. Для этого пришлось использовать графическую функцию LabelListPlot из пакета расширения Graphics. Нетрудно заметить, что амплитуды гармоник быстро убывают по мере роста их номера. Однако, поскольку суммируется множество гармоник, это не является основанием для слишком поспешного отбрасывания высших гармоник.
Рис. 5.16. Вычисление коэффициентов Фурье, амплитуд и фаз гармоник
Рис. 5.17. Спектрограмма амплитуд гармоник
Рисунок 5.18 представляет спектрограмму фаз гармоник. Фазы гармоник также имеют дискретные значения и показаны точками с номерами. Значение фазового сдвига лежит в пределах от -л до л. Теперь, получив набор гармоник заданного сигнала, можно приступить к его гapмоническому синтезу. Он представлен на рис. 5.19 сверху. Здесь также применен прием, иногда ускоряющий вычисления, — гармоники с нулевой амплитудой из формулы синтеза устраняются.
Рис. 5.18. Спектрограмма фаз гармоник
Рис. 5.19. Гармонический синтез сигнала и сравнение его результатов с временной зависимостью интерполированного сигнала
Самый «волнующий» момент представлен во второй части рис. 5.19 — здесь показано сравнение результата гармонического синтеза сигнала с его временной зависимостью (интерполированной). Чтобы исходный и синтезированный сигналы не сливались, синтезированный сигнал намеренно немного сдвинут вправо и вверх. Нетрудно заметить, что несмотря на сложный характер сигнала его гармонический (спектральный) синтез в данном случае дает превосходные результаты уже при использовании 51 гармоники (включая нулевую). Если убрать отмеченный выше сдвиг, то сигналы практически сливаются. Рисунок 5.20 показывает задание амплитудно-частотной и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик некоего фильтра, ослабляющего высокие частоты и вносящего фазовый сдвиг, пропорциональный частоте сигнала. В нижней части рисунка построены эти характеристики. Заметим, что здесь АЧХ и ФЧХ заданы без «хитростей», присущих решению аналогичной задачи с применением встроенных функций дискретного преобразования Фурье. Они задаются в явном виде как функции от частоты.
Рис. 5.20. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтра
Рисунок 5.21 показывает, как влияет на форму сигнала его прохождение через фильтрующую цепь. Для оценки этого используется формула синтеза гармоник. Однако отличные от нуля амплитуды гармоник умножаются на модуль коэффициента передачи (АЧХ) фильтра, а к фазе каждой гармоники добавляется фазовый сдвиг, вносимый фильтром (ФЧХ). Таким образом, в процессе синтеза временной зависимости сигнала учитываются амплитудно-частотные и фазо-частотные искажения сигнала фильтром.
Рис. 5.21. Сравнение исходной временной зависимости сигнала и сигнала на выходе фильтрующей цепи
Рассмотренный документ является хорошей иллюстрацией применения системы Mathematica для решения нестандартных задач и реализации альтернативных методов их решения. В частности, в данном случае спектральный анализ и синтез велись по типичной для инженерных расчетов методике и без использования встроенных функций преобразования Фурье.
|