Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4



 

Специальные числа и полиномы


Для вычисления специальных чисел и полиномов служит следующая группа функций:

  • BernoulliB [n] — n-е число Бернулли;
  • BernoulliB [n, х] — полином Бернулли n-й степени;
  • Binomial [n, m] — биномиальный коэффициент;
  • Cyclotomic [n, х] — циклотомический полином порядка п по переменной х;
  • EulerE[n] — n-е число Эйлера;
  • EulerE[n, х] — n-й полином Эйлера;
  • EulerPhi [n] — эйлерова функция сумм ф(n) — количество положительных целых чисел, не превосходящих п и взаимно простых с и;
  • Fibonacci [n] — n-е число Фибоначчи;
  • Fibonacci [n, х] — полином Фибоначчи F n (x);
  • Multinomial [n1, n2, . . . ] — мультиномиальный коэффициент (n! + n2 + . . .) !/(n1! n2! ...);
  • NBernoulliB [n] — численное значение n-го числа Бернулли;
  • NBernoulliB [n, d] — n-е число Бернулли с n?-цифровой точностью представления;
  • Pochhammer [а, n] — символ Похгамера;
  • StirlingSl [n, m] — число Стирлинга первого рода;
  • StirlingS2 [n, m] — число Стирлинга второго рода.
Ниже представлены примеры вычисления данных функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

N [BernoulliB [2]]

0.166667

BernoulliB [2, 0.1]

0.0766667

Binomial [6, 4]

15

Cyclotomic [ 5, х]

1 + x + x 2 + x 3 + x 4

Cyclotomic [5,0.2]

1.2496

EulerE[2]

-1

EulerE[2,0.1]

-0.09

EulerPhi [2]

1

Fibonacci [10]

55

Fibonacci [ 6 , x]

3 x + 4 x 3 + x 5

Pochhammer [1,3]

6

StirlingSl [8, 4]

6769

На рис. 6.12 показаны графики полиномов Бернулли и циклотомического полинома различных порядков.

Рис. 6.12. Графики полиномов Бернулли (сверху) и циклотомических полиномов (снизу)

Обратите внимание на то, что здесь использована функция Plot, модифицированная пакетом расширения plot.m, который будет описан в уроке 10. Эта функция позволяет автоматически строить графики ряда функций с линиями разного стиля, что облегчает их распознавание.

На рис. 6.13 представлены графики полиномов Эйлера EulerE разного порядка п.

Помимо описанных выше, в ядро системы входит также ряд других, менее распространенных функций. Они описаны в приложении.

По числу встроенных специальных математических функций Mathemafica заметно превосходит другие системы компьютерной математики. При этом все такие функции могут участвовать в символьных преобразованиях. Это делает системы Mathematica предпочтительными при решении задач, в которых часто встречаются специальные математические функции. В то же время надо отметить, что многие специальные функции системами Mathemafica вычисляются только для целого порядка.

Рис. 6.13. Графики полиномов Эйлера разного порядка

 

Назад Начало Вперед