Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4



 

Гипергеометрические функции


Класс гипергеометрических функций в системе Mathematica представлен следующими встроенными в ядро функциями:

  • HypergeometricU [a, b, z] — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция U(a, b, z);
  • Hypergeometric0Fl [a, z] — гипергеометрическая функция 0 F 1 , (; a; z);
  • HypergeometriclFl [а, b, z] — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера 2 F 1 (a; b; z);
  • Hypergeometric2Fl [a, b, с, z] — гипергеометрическая функция F 1 (a, b; c, z). Следующие примеры показывают вычисления гипергеометрических функций.
Ввод (In) Вывод (Out)
HypergeometricOFl [2 . , 1 . ] 1.59064
HypergeometricOFl [2 . , 2 . +3 . *I] 1.22457 + 2.31372 I
HypergeometriclFl [1 . , 2 . , 2 . +3 . *I] -1.03861 + 2.07929 I
Hypergeometric2Fl[l. ,2. ,3. ,2.+3.*I] 0.0291956 + 0.513051 I

На рис. 6.8 представлены графики ряда гипергеометрических функций, перечисленных выше. 

Рис. 6.8. Графики гипергеометрических функций

Следует отметить, что число этих функций в ядре новых версий даже несколько сокращено по сравнению с предшествующими версиями. Убраны довольно редко используемые функции, в имени которых имеется слово Regularized.

Эллиптические интегралы и интегральные функции

В ядро системы Mathematica входят эллиптические функции и функции вычисления эллиптических интегралов:

  • EllipticE [m] — полный эллиптический интеграл Е(т);
  • EllipticE [phi, m] — эллиптический интеграл второго рода Е(Ф\т);
  • EllipticExp [u, {a, b}] — обобщенный экспоненциал, связанный с эллиптической кривой у 2 = х 3 + ах 2 + bx,
  • EllipticExpPrime [и, {а, Ь}] — производная по первому аргументу EllipticExp[u, {a, b}];
  • Elliptic? [phi, m] — эллиптический интеграл первого рода Р(Ф\т);
  • EllipticK[m] — полный эллиптический интеграл первого рода К(т)\
  • EllipticLog [ {х, у}, {а, Ь}] — обобщенный логарифм, связанный ц эллиптической кривой у 2 = л 3 + а х 2 + b т,
  • EllipticNomeQ [m] — возвращает значение q = Exp[-PiEllipticK[l - m]/EllipticK[m]];
  • Elliptic?! [n, phi, m] — эллиптический интеграл третьего рода П(и; Ф\т);
  • Elliptic?! [n, m] — полный эллиптический интеграл П(п|т);
  • EllipticTheta [i, z, q] — эллиптическая тета-функция &.(z, q), где i = i, 2, 3 или 4;
  • EllipticThetaC [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ с (и, т);
  • EllipticThetaD [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ d (u, m);
  • EllipticThetaN [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ п (и, m ) ;
  • EllipticThetaPrime [i, z, q] — производная по второму аргументу эллиптической тета-функции в .(z, q), где i= I, 2, 3 или 4;
  • EllipticThetaS [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла u s (w, т);
  • FresnelCfx] — интеграл Френеля С(х),
  • FresnelS[x] — интеграл Френеля S(x);
  • InverseJacobi** [v, m] — обратная эллиптическая функция Якоби с обобщенным названием **. Возможны следующие наименования для **: CD , CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD И SN;
  • JacobiAmplitude [u, m] — амплитуда для эллиптических функций Якоби;
  • Jacobian — опция для FindRoot; может применяться для указания якобиана системы функций, для которых ищется корень;
  • Jacob!** [u, m] — эллиптическая функция Якоби с обобщенным именем **, которое может принимать значения CD, CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD и SN;
  • JacobiSymbol [n, m] — символ Якоби от n и in;
  • JacobiZeta [phi, m] — дзета-функция Якоби Z(Ф|m);
  • WeierstrassP [u, g2, g3] — эллиптическая функция Вейерштрасса Р,
  • WeierstrassPPrime [u, g2, g3] — производная эллиптической функции Вейерштрасса Р'по переменной и.
Приведем примеры использования некоторых из этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

EllipticE[0.1]

1.53076

EllipticE[Pi,0.1]

3.06152

EllipticF [Pi/2 ,0.1]

1.61244

EllipticPi[Pi,0.1]

-0.0266412- 1.09088 I

EllipticK[0.l]

1.61244

FresnelC[1.0]

0.779893

FresnelSfl.0]

0.438259

JacobiCD[l,0.2]

0.605887

JacobiZeta [ Pi , 0 . 5]

0

WeierstrassPPrime [1. ,2. ,3.]

-1.31741

Эллиптические функции (интегралы) широко используются в оптических расчетах и в астрофизике. На рис. 6.9 показаны графики некоторых эллиптических функций.

Рисунок 6.10 показывает построение контурного графика на комплексной плоскости с параметрическим заданием функций, выраженных через функцию Якоби и эллиптические интегралы. Нетрудно заметить, что график описывает довольно сложную и специфическую поверхность, содержащую периодические пики и впадины.

Читателю рекомендуется просмотреть ряд других примеров на использование функций данного раздела (например, в справочной базе данных системы Mathematica).

Рис. 6.9. Графики некоторых эллиптических функций

Рис. 6.10. Контурный график с параметрическим заданием комбинированной функции, содержащей функцию Якоби и эллиптические интегралы

 

Назад Начало Вперед