Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4



 

Гамма- и полигамма-функции


Широко используются гамма-функция и относящиеся к ней родственные функции:

  • Gamma [ а ] — эйлерова гамма-функция;
  • Gamma [ a, z] — неполная гамма-функция;
  • Gamma [a, z 0, z 1 ] — обобщенная неполная гамма-функция Gamma (а, z 0) -Gamma(a,zl);
  • GammaRegularized[a, z] — регуляризованная неполная гамма-функция
  • (а,2)=Gamma(а,z)/Gamma(a);
  • GammaRegularized[a, z0, zl] — обобщенная неполная гамма-функция Q(a,z0)-Q(a, zl);
  • LogGamma [ z ] — логарифм эйлеровой гамма-функции;
  • Pol у Gamma [ z ] — дигамма-функция \|/(z);
  • Pol у Gamma [n, z] — n-я производная от дигамма-функции.
Приведем примеры вычисления этих функций.

Ввод (In)

Вывод (Out)

Gamma[l,2.+3.*I] -0.133981- 0,.0190985 I
Gamma [0.5] 1.77245

Gaitima [1,2. , 3 . ]

0.0855482

GammaRegularized [ 1 , 2 . +3 . I , 4 . +6 . *I ]

-0.139176- 0.0366618 I

LogGamma [0.5]

0.572365

LogGarama [ 2 . +3 . * I ]

-2.09285 + 2.3024 I

PolyGamma[l]

-EulerGamma

PolyGamma [ 1 . ]

-0.577216

PolyGarama [2 . +3 . *I]

1.20798 + 1.10413 I

Как видно из этих примеров, данный класс функций (как и многие другие) определен в общем случае для комплексного значения аргумента.

На рис. 6.5 представлены графики эйлеровой гамма-функции и неполной гамма-функции при вещественном аргументе. Поведение эйлеровой гамма-функции довольно сложно, особенно при отрицательных значениях аргумента — наблюдаются характерные разрывы функции с ее уходом в положительную и отрицательную бесконечность.

Рис. 6.5. Графики эйлеровой гамма-функции (сверху) и неполной гамма-функции (снизу)

Поведение эйлеровой гамма-функции в комплексной плоскости довольно интересно. На рис. 6.6 показан контурный график этой функции, отражающий ее поведение на комплексной плоскости в ограниченной области изменения действительной и мнимой частей аргумента.

Рис. 6.6. Контурный график эйлеровой гамма-функции на комплексной плоскости

Графики других гамма-функций пользователь может' построить и просмотреть самостоятельно.

 

Назад Начало Вперед