Ортогональные многочлены

Одними из широко распространенных специальных функций являются ортогональные многочлены (полиномы). Mathematica имеет следующие функции, возвращающие значения ортогональных многочленов:

ChebyshevT [n, х] — полином Чебышева п-й степени первого рода;
CyebyshevU [n, x] — полином Чебышева п-йстепени второго рода;
HermiteH[n, х] — полином Эрмита п-йстепени;
JacobiP[n, a, b, х] — полином Якоби п-й степени;
'GegenbauerC [n, m, х] — полином Гегенбауэра;
LaguerreL[n, х] — полином Лагерра n-й степени;
LaguerreL[n, а, х] — обобщенный полином Лагерра п-й степени;
LegendreP [n, х] — полином Лежандра n-й степени;
LegendreP [n, m, x] — присоединенный полином Лежандра;
LegendreQ [n, z] — функция Лежандра второго рода n-го порядка;
LegendreQ [n, m, z] — присоединенная функция Лежандра второго рода.

LegendreType — опция для функций LegendreP и LegendreQ; она указывает выборы разрывов кривой для функций Лежандра на комплексной плоскости.

Все ортогональные полиномы имеют простые рекуррентные представления. Поэтому приведенные выше функции вычисляются по ним довольно быстро и точно. Они находят широкое применение в технике интерполяции и аппроксимации функций.

Следующие примеры иллюстрируют работу с ортогональными многочленами.

Ввод (In)	Вывод (Out)
ChebyshevT [ 8, х]	1 - 32 x ² + 160 x ⁴ - 256 x ⁶ + 128 x ⁸
ChebyshevT [5, 0.2]	0.84512
ChebyshevU [3,0. 15]	-0.573
HermiteH[4,3]	876
JacobiP[3,l,2,0.2]	-0.256
GegenbauerC [ 3 , 1 , x]	-4 x + 8 x ³
N [LaguerreL [3,x]]	0.166667 (6. -18. x+ 9. x ² - 1. X ³ )
LegendreP [ 5 , x ]	15 x /6-35 x ³ /4+63 x ⁵ /8
LegendreQ[2,0.2]	-0.389202

Важно отметить, что при указании конкретного значения параметра п и символьном значении параметра х функции этой группы возвращают присущие им представления через степенные многочлены с соответствующими коэффициентами.

На рис. 6.1 показаны графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT и ChebyshevU. Для этих полиномов характерно изменение от -1 до +1 при \х\<1, причем при высоком порядке полиномов графики функций имеют колебательный характер.

Рис. 6.1. Графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT (сверху) и ChebyshevU (снизу)

Графики функций полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP показаны на рис. 6.2. Они дают представление о поведении этих функций.

Рис. 6.2. Графики ортогональных полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP (снизу)

На рис. 6.3 представлены графики полиномов Лежандра LegendreQ.

Рис. 6.3. Графики функций Лежандра LegendreQ (сверху) и полиномов Гегенбауэра GegenbauerC (снизу)

Содержание раздела