Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4



 

Ортогональные многочлены


Одними из широко распространенных специальных функций являются ортогональные многочлены (полиномы). Mathematica имеет следующие функции, возвращающие значения ортогональных многочленов:

  • ChebyshevT [n, х] — полином Чебышева п-й степени первого рода;
  • CyebyshevU [n, x] — полином Чебышева п-йстепени второго рода;
  • HermiteH[n, х] — полином Эрмита п-йстепени;
  • JacobiP[n, a, b, х] — полином Якоби п-й степени;
  • 'GegenbauerC [n, m, х] — полином Гегенбауэра;
  • LaguerreL[n, х] — полином Лагерра n-й степени;
  • LaguerreL[n, а, х] — обобщенный полином Лагерра п-й степени;
  • LegendreP [n, х] — полином Лежандра n-й степени;
  • LegendreP [n, m, x] — присоединенный полином Лежандра;
  • LegendreQ [n, z] — функция Лежандра второго рода n-го порядка;
  • LegendreQ [n, m, z] — присоединенная функция Лежандра второго рода.
LegendreType — опция для функций LegendreP и LegendreQ; она указывает выборы разрывов кривой для функций Лежандра на комплексной плоскости.

Все ортогональные полиномы имеют простые рекуррентные представления. Поэтому приведенные выше функции вычисляются по ним довольно быстро и точно. Они находят широкое применение в технике интерполяции и аппроксимации функций.

Следующие примеры иллюстрируют работу с ортогональными многочленами.

Ввод (In) Вывод (Out)
ChebyshevT [ 8, х] 1 - 32 x 2 + 160 x 4 - 256 x 6 + 128 x 8
ChebyshevT [5, 0.2] 0.84512
ChebyshevU [3,0. 15] -0.573
HermiteH[4,3] 876
JacobiP[3,l,2,0.2] -0.256
GegenbauerC [ 3 , 1 , x] -4 x + 8 x 3
N [LaguerreL [3,x]] 0.166667 (6. -18. x+ 9. x 2 - 1. X 3 )
LegendreP [ 5 , x ] 15 x /6-35 x 3 /4+63 x 5 /8
LegendreQ[2,0.2] -0.389202
Важно отметить, что при указании конкретного значения параметра п и символьном значении параметра х функции этой группы возвращают присущие им представления через степенные многочлены с соответствующими коэффициентами.

На рис. 6.1 показаны графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT и ChebyshevU. Для этих полиномов характерно изменение от -1 до +1 при \х\<1, причем при высоком порядке полиномов графики функций имеют колебательный характер.

Рис. 6.1. Графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT (сверху) и ChebyshevU (снизу)

Графики функций полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP показаны на рис. 6.2. Они дают представление о поведении этих функций.

Рис. 6.2. Графики ортогональных полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP (снизу)

На рис. 6.3 представлены графики полиномов Лежандра LegendreQ.

Рис. 6.3. Графики функций Лежандра LegendreQ (сверху) и полиномов Гегенбауэра GegenbauerC (снизу)

 

Назад Начало Вперед