В наши дни
многие уже путают компьютерную математику
как науку о математических
вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной
фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание
такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная
математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных
классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети
Интернет.
Для многих
неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно
те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые
познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать,
в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем
— после изучения основ работы с системой
Урок 1. Первое знакомство
В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет.
Первое знакомство
Зарождение и развитие систем компьютерной алгебры
Математические системы Mathematica
Структура систем Mathematica и их идеология
Знакомство с символьными вычислениями
Установка систем и их особенности
Отличительные особенности Mathematica 4
Что нового мы узнали?
Урок 2. Интерфейс системы
Прежние версий системы Mathematica имели довольно скромный стандартный интерфейс, характерный для приложений MS-DOS. Однако в версиях Mathematica 3/4 интерфейс был существенно переработан. В этом уроке подробно рассматривается интерфейс систем Mathematica 3/4. Освоение интерфейса не менее важно, чем освоение чисто математических возможностей системы, поскольку именно использование всех возможностей интерфейса позволяет готовить вполне современные документы, отличающиеся высоким качеством визуализации.
Интерфейс системы
Строка меню и окно редактирования документов
Палитры математических операторов и функций
Понятие о документах в форме notebooks
Особенности интерфейса Mathematica 4
Работа с файлами
Редактирование документа
Работа с ячейками
Ввод элементов документов
Управление работой ядра
Операции поиска и замены
Работа с окнами и справкой
Что нового мы узнали?
Урок 3. Типы данных
С этого урока начинается серьезное освоение математических возможностей систем Mathematica 3 и 4. Мы изучим основные типы данных, операторов, функций и объектов, с которыми может работать система Mathematica 3/4, а попутно познакомимся и с некоторыми простыми операциями ввода данных и их обработки.
Типы данных
Основные классы данных
Операторы и функции
Работа с объектами
Работа со списками и массивами
Операции линейной алгебры
Что нового мы узнали?
Урок 4. Операции математического анализа
В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно
Операции математического анализа
Вычисление сумм
Вычисление произведений
Вычисление производных
Вычисление интегралов
Вычисление пределов функций
Уравнения и системы уравнений
Дифференциальные уравнения
Оптимизационные задачи
Преобразования Лапласа — LaplaceTransform
Что нового мы узнали?
Урок 5. Представление и обработка данных
Представление и обработка данных — еще один класс математических задач, имеющих явно практическую направленность. В этом уроке мы рассмотрим ряд средств решения этих задач — начиная с общеизвестного разложения аналитических функций в ряды Тейлора и Маклорена и кончая различными видами аппроксимации, интерполяции и регрессии. Будут также затронуты прикладные вопросы применения интерполяции при спектральном анализе сигналов и моделировании нелинейных электрических и электронных цепей.
Представление и обработка данных
Разложение функций в ряды
Преобразования Фурье
Интерполяция, аппроксимация и регрессия
Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигнала
Что нового мы узнали?
Урок 6. Специальные математические функции
Специальные математические функции являются решениями линейных дифференциальных уравнений специального вида или представлениями особых интегралов, которые не могут быть выражены через элементарные функции. Здесь не приводятся определения специальных математических функций ввиду их общеизвестности и наличия соответствующей информации в справочной базе данных систем.
Специальные математические функции
Ортогональные многочлены
Интегральные показательные и родственные им функции
Гамма- и полигамма-функции
Функции Бесселя
Гипергеометрические функции.
Функции Эйри
Специальные числа и полиномы
Что нового мы узнали?
Урок 7. Работа с периферийными устройствами
Если пользователь использует систему Mathematica для выполнения чисто математических расчетов, то он может ничего не знать о подавляющем большинстве описанных в этом уроке функций. Их основное назначение — незаметная поддержка работы с периферийными устройствами ввода/вывода. Однако все функции этого урока открыты для опытных пользователей, стремящихся использовать систему в составе программных комплексов. Здесь рассматривается только часть функций для работы с периферийными устройствами — даны те из них, которые используются достаточно часто. Многие функции этой группы перечислены в приложении.
Работа с периферийными устройствами
Функции задания формата вывода
Удаление введенных в ходе сессии определений
Потоки и файлы
Использование файлов других языков программирования
Другие функции для работы с файлами
Общесистемные функции
Урок 8. Графика и звук
Графика, как важнейшее средство визуализации вычислений, всегда была козырной картой системы Mathematica и во многом способствовала ее высокой репутации как мирового лидера среди систем компьютерной математики. Обширные графические возможности достигаются при небольшом числе встроенных функций графики за счет их модификации с помощью опций и директив. Благодаря этому Mathematica позволяет строить практически любые виды графиков. Для просмотра и изменения опций графика можно (выделив ячейку с графиком) воспользоваться описанным ранее инспектором опций, в котором есть соответствующий раздел.
Графика и звук
Двумерная графика
Трехмерная графика
Специальные средства визуализации и звука
Урок 9. Компьютерная алгебра
Математические выражения — основа описания алгоритмов вычислений. Фактически, вся символьная математика основана на тех или иных видах преобразований выражений. Такие преобразования и описаны в данном уроке.
Компьютерная алгебра
Работа с выражениями
Функции компьютерной алгебры
Что нового мы узнали?
Урок 10. Основы программирования
Ранее не раз говорилось, что Mathematica, в сущности, является диалоговым языком программирования сверхвысокого уровня. Однако мы еще не поднимались (или не опускались) до уровня подготовки программ в среде Mathematica 3/4. Между тем, Mathematica и впрямь имеет программные средства, ничем не уступающие таковым для современных языков программирования, а в области подготовки программ для математических преобразований и вычислений намного их превосходящие. В этом уроке мы, наконец, изучим систему Mathematica как язык программирования.
Основы программирования
Методы программирования
Образцы и их применение
Функции пользователя
Суперпозиция функций
Пример программирования графической задачи
Использование процедур
Проблемы совместимости
Подготовка пакетов расширений системы Mathematica
Создание средств визуального программирования
Отладка и трассировка программ
Урок 11. Математические пакеты расширения
Начиная с этого урока, мы переходим к изучению стандартных пакетов расширения (Standard Add-on Packages), которые встроены в системы Mathematica 3/4. Они не требуют отдельной инсталляции, но перед использованием их средств пакеты надо объявлять. Стандартные пакеты расширений содержат примерно столько же дополнительных средств, сколько их содержится в ядре, — то есть тоже порядка тысячи. Применение пакетов расширения особенно эффективно, если оно производится достаточно опытными пользователями.
Математические пакеты расширения
Пакет алгебраических функций Algebra
Пакет вычислительных функций Calculus
Пакет дискретной математики DiscreteMath
Геометрические расчеты — пакет Geometry
Линейная алгебра — пакет LinearAlgebra
Расширение в теории чисел — пакет NumberTheory
Численные расчеты — пакет NumericalMath
Урок 12. Статистические расчеты
В ядре системы Mathematica практически нет статистических функций. Зато пакет расширения Statistics дает сотни функций, охватывающих практически все разделы теоретической и прикладной статистики. Тем не менее, вопрос о привлечении универсальных математических систем к выполнению серьезных математических расчетов является спорным из-за существования множества специальных статистических компьютерных систем, таких как Statistica, StatGraphics и т. д.
Статистические расчеты
Статистические расчеты— пакет Statistics
Регрессия
Урок 13. Полезные функции
Слово Miscellaneous в переводе на русский язык означает «всякая всячина». Большинство функций этого пакета, на первый взгляд, не имеет прямого отношения к математическим расчетам. Однако как сказать! Этот пакет представляет систему Mathematica в особом свете — как систему, имеющую далеко не стандартные средства синтеза звука и графического представления информации самого общего вида. Физики, химики, географы и даже музыканты могут найти в этом пакете средства, полезные им при обработке на компьютере информации произвольного вида.
Полезные функции
Пакет расширения с утилитами — Utilities
Урок 14. Расширения графики— пакет Graphics
Пакет расширения Graphics дает множество средств для построения графиков самого изысканного вида. Он является прекрасным инструментом для визуализации задач, допускающих представление результатов в графической форме. Объем материала данного пакета намного выходит за пределы одного урока, поскольку предполагает отбор нужного материала для изучения того или иного вида графики.
Расширения графики— пакет Graphics
Установка аргумента цвета — ArgColor
Построение объемных контурных графиков — ContourPlot3D
Специальные типы трехмерных графиков — Graphics3D
Вывод обозначений кривых — Legend
Построение 3D-параметрических графиков — ParametricPlot3D
Построение полиэдров — Polyhedra
Примитивы, использующие сплайны — Spline
Приложение. Данные по дополнительным функциям Mathematica
Обзор
Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и
заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи Mathcad — это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты.
Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных
вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и
Web-страниц), Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.
Mathcad 11, в отличие от большинства других современных математических
приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See
Is What You Get" — "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он
очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала
писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать
ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения
с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном
к общепринятому, и тут же получать результат Кроме того, можно изготовить на
принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в
том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с Mathcad
Создатели Mathcad сделали все возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными
знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров),
мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки
и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором Mathcad достаточно
базовых навыков пользователя. С другой стороны, профессиональные программисты
(к которым относит себя и автор этих строк) могут извлечь из Mathcad намного
больше, создавая различные программные решения, существенно расширяющие возможности,
непосредственно заложенные в Mathcad.
Глава 1. Начинаем работу
В данной главе рассмотрено назначение приложения Mathcad 11 и, в целях знакомства с его основными возможностями, приведены базовые приемы его использования (см. разд. 1.1—1.2). Если вы уже имели дело с прежними версиями, начиная с Mathcad 7, и у вас неплохие навыки работы с его редактором, то можете смело пропустить эту главу.
Глава 2. Редактирование документов
В данной главе рассматриваются основные приемы редактирования документов Mathcad. Первый раздел посвящен созданию новых документов и сохранению расчетов в файлах (см. разд. 2 1). В трех следующих рассмотрены способы редактирования формул (см. разд. 2.2), текста (см. разд. 2.3) и правки частей документа Mathcad (см. разд. 2.4). В заключение главы приводятся основные сведения по распечатке документов (см. разд. 2.5), рассылке их по электронной почте (см. разд. 2.6) .
Глава 3. Вычисления
Основные инструменты математика — это операции с переменными величинами и функциями. В Mathcad переменные, операторы и функции реализованы в интуитивной форме, т. е. выражения в редакторе вводятся и вычисляются так, как они были бы написаны на листе бумаги. Порядок вычислений в документе Mathcad также очевиден: математические выражения и действия воспринимаются процессором слева направо и сверху вниз.
Глава 4. Типы данных
Наиболее простой и распространенный ввод-вывод данных в Mathcad реализован присваиванием и выводом (либо численным, либо символьным) непосредственно в документе. Переменные и функции, посредством которых осуществляется ввод-вывод, могут иметь значения различных типов (числовые, строковые и т. д.).
Глава 5. Символьные вычисления
Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т. к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе Mathcad выше этого выделенного выражения (например, операторы присваивания значений каким-либо переменным).
Глава 6. Программирование
Фактически, использование ранжированных переменных — мощный аппарат Mathcad, похожий на применение циклов в программировании. В подавляющем большинстве случаев намного удобнее организовать циклы (в том числе вложенные) с помощью ранжированных переменных, чем заниматься для этого программированием. Полезнее освоить технику, связанную с ранжированными переменными, векторами и матрицами, поскольку на ней основаны главные принципы расчетов в Mathcad, в частности подготовка графиков.
Глава 7. Интегрирование и дифференцирование
Интегрирование в Mathcad реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые также должны быть скалярами. Несмотря на то что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным.
Глава 8. Алгебраические уравнения и оптимизация
Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.
Глава 9. Матричные вычисления
Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом Рассмотрим матричные и векторные операции Mathcad 11. Векторы являются частным случаем матриц размерности NXI, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например некоторые операции применимы только к квадратным матрицам NXN). Какие-то действия допустимы только для векторов (например скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.
Глава 10. Специальные функции
Функции Бесселя, по определению, являются решениями различных краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Для численного интегрирования одного ОДУ у пользователя Mathcad 11 (начиная с версии Mathcad 2000 Pro) имеется выбор — либо использовать вычислительный блок Given/odesoive, либо встроенные функции, как в прежних версиях Mathcad. Первый путь предпочтительнее из соображений наглядности представления задачи и результатов, а второй дает пользователю больше рычагов воздействия на параметры численного метода. Рассмотрим последовательно оба варианта решения.
Глава 12. Краевые задачи
Постановка краевых задач для ОДУ отличается от задач Коши, рассмотренных в главе 11, тем, что граничные условия для них ставятся не в одной начальной точке, а на обеих границах расчетного интервала. Если имеется система N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, то часть из N условий может быть поставлена на одной границе интервала, а оставшиеся условия — на противоположной границе.
Глава 13. Дифференциальные уравнения в частных производных
Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u
Глава 14. Математическая статистика
Для моделирования различных физических, экономических и прочих эффектов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. Их основная идея состоит в создании определенной последовательности случайных чисел, моделирующей тот или иной эффект, например, шум в физическом эксперименте, случайную динамику биржевых индексов и т. п. Для этих целей в Mathcad имеется ряд встроенных функций, реализующих различные типы генераторов псевдослучайных чисел.
Глава 15. Обработка данных
Для построения интерполяции-экстраполяции в Mathcad имеются несколько встроенных функций, позволяющих "соединить" точки выборки данных (xi, yi) кривой разной степени гладкости. По определению интерполяция означает построение функции д(х), аппроксимирующей зависимость у(х) в промежуточных точках (между xi). Поэтому интерполяцию еще по-другому называют аппроксимацией.
Глава 16. Ввод-вывод данных
Наиболее простой и распространенный ввод-вывод данных в Mathcad реализован присваиванием и (либо численным, либо символьным) выводом непосредственно в документе. Фактически документ Mathcad является одновременно и кодом программы и результатом ее выполнения. Поэтому самый простой и распространенный способ ввода-вывода — это непосредственное присвоение и вывод вычисленных значений в документах.
Глава 17. Оформление документов
Перечислим элементы оформления документов, которые допускается применять в Mathcad как, собственно, для проведения математических расчетов, так и в чисто декоративных целях
Приложения
Приложение 1. Новые возможности Mathcad
Приложение 2. Команды меню и панели инструментов
Приложение 3. Встроенные операторы и функции
Приложение 4. Сообщения об ошибках
В предыдущих томах серии “Библиотеки системного программиста” мы ориентировались в первую очередь на язык программирования Си. Даже если некоторые программы были написаны на Си++, то богатые возможности этого языка практически не использовались.
Сегодня уровень сложности программного обеспечения настолько высок, что разработка коммерческих приложений Windows с использованием средств одного только языка Си значительно затрудняется. Программист должен будет затратить массу времени на решение стандартных задач по созданию многооконного интерфейса. Реализация технологии связывания и встраивания объектов - OLE потребует от программиста еще более тяжелой работы.
Чтобы облегчить работу программиста практически все современные компиляторы с языка Си++ содержат специальные библиотеки классов. Такие библиотеки включают в себя практически весь программный интерфейс Windows и позволяют пользоваться при программировании средствами более высокого уровня, чем обычные вызовы функций. За счет этого значительно упрощается разработка приложений, имеющих сложный интерфейс пользователя, облегчается поддержка технологии OLE и взаимодействие с базами данных.
Microsoft Visual C++
Класс CTime - дата и время
Создание нового документа
Новые версии Visual C++
Новая кнопка в панели управления
Ресурсы приложения Dater